Как ответить на «невозможный» вопрос в Edexcel GCSE Maths Paper 2022

«Невозможный» вопрос GCSE по математике

Вопрос

Диаграмма состоит из трех окружностей, каждая из которых имеет радиус 4 см.

Центры окружностей — A, B и C, так что ABC — прямая.

Определите общую площадь двух заштрихованных областей.

Дайте свои ответы в терминах числа π.

В чем проблема?

Последний вопрос первой в этом году (2022 г.) работы по математике GCSE от Edexcel был назван многими учениками невозможным, и даже некоторые учителя математики пытаются его решить. Есть даже истории о том, что некоторые чрезвычайно способные студенты-математики прибегают к использованию методов уровня A, таких как полярные координаты и интегрирование, для решения этой задачи.

Мы собираемся посмотреть, как решить этот конкретный вопрос, используя только математические методы GCSE и без калькулятора.

Решение

Первое, на что следует обратить внимание при решении этого вопроса, это то, что из-за пересекающихся окружностей мы можем добавить к нашей диаграмме равносторонние треугольники.

Вопрос с добавлением равносторонних треугольников

Мы знаем, что эти треугольники равносторонние, потому что каждая сторона является радиусом одной из окружностей, следовательно, все должны быть одного размера, 4 см.

Поскольку они равносторонние, это означает, что все три угла в каждом треугольнике равны 60°.

Теперь мы можем добавить этот фиолетовый сектор вверху. Этот сектор состоит из верхней синей области и небольшого сегмента с каждой стороны. Если мы сможем проработать площади сектора и сегментов, то сможем решить вопрос.

Сектор достаточно легкий. Из-за правил прямой линии угол составляет 180 ° — 60 ° — 60 ° = 60 °. Его прямые стороны равны 4 см, так как это радиусы. Таким образом, площадь можно вычислить, используя нашу формулу площади сектора.

Площадь = π × 4² × 60/360 = 8π/3 см²

Теперь по сегментам.

Сегменты

Как видно на изображении выше, каждый сегмент можно получить, взяв сектор круга с углом 60° и удалив равносторонний треугольник.

Сектор имеет ту же площадь, что и сектор, который мы рассчитали ранее, поскольку он снова является сектором 60 ° со стороной 4 см. Следовательно, его площадь равна 8π/3 см.².

Площадь треугольника можно рассчитать по формуле 1/2 ab × sin C.

Площадь треугольника = 1/2 × 4 × 4 × sin 60 = 1/2 × 16 × √3/2 = 4√3 см².

Обратите внимание, что мы должны помнить, что sin 60 = √3 / 2 и для этого не нужен калькулятор.

Таким образом, площадь сегмента равна 8π/3 − 4√3 см.².

Собираем все вместе

Теперь у нас есть площадь сектора и два сегмента, поэтому, объединив это, мы получим:

Площадь верхней синей области = 8π/3 − 2(8π/3 − 4√3) = 8√3 − 8π/3.

Общая площадь равна двум из этих площадей и так:

Общая площадь = 2 (8√3 — 8π/3) = 16√3 — 16π/3

Должен ли я беспокоиться, если я не ответил на это?

Нет. Определенно нет. Это был последний вопрос в контрольной работе более высокого уровня, предназначенной для прохождения вплоть до 9-го класса. 9-й класс — это самый высокий класс, созданный для того, чтобы отделить самых лучших математиков A* от других математиков A*.

Чтобы иметь возможность создать такое разделение между 8 и 9 классами, экзаменаторам необходимо включить вопросы, которые нельзя выучить наизусть или отточить наизусть упорным трудом и повторением. Этот вопрос, хотя и использует только математические навыки GCSE, требует дополнительной искры, чтобы определить, как использовать эти навыки.

Ученик все еще может очень легко получить высшую оценку, не ответив на этот вопрос, и любой, кто не предсказал 9-й балл, не должен беспокоиться о том, что пропустил этот вопрос.